数論的商空間のコンパクト化として最初に考えられたもの（佐武・Baily・ Borel のコンパクト化）は標準的で最小という利点がある反面、非常に悪い特異点 をも つものであった。この欠点を除くために 1970 年代に井草、Hirzebruch 等に よ り様々な非特異化が考えられたが、その中で最も一般的かつ優れたものが、 Mumford 達によって構成されたトロイダルコンパクト化である。 を対称領域、G をその自己同型群（の連結成分）、 をその（一つ の 構造に関する）数論的部分群とするとき、商空間 を数論的商空間、そのコンパクト 化を 数論的多様体という。標準的コンパクト化 は に の有理境界成分 から生じる低次元の数論 的 商空間 を有限個つけ加えて得られ る。トロイ ダル・コンパクト化 は、さらに を境界 に沿って blow up し、商空間 を その上のあ る種のファイバー空間で置き換えて得られるものである。それは の境界成分 から生じる の "穴"を埋めるために, （ に関するジーゲル領域表示を使って）そのトーラス部分をトー リック 完備化で置き換えることによって構成される。

このようにトロイダル・コンパクト化は対称領域の群論的構造をより精密に 反映 するものであり、その境界上のファイバー空間の中にはアーベル多様体を ファイ バーとする空間（久賀のファイバー空間）、さらにその上のトーリック束な どが 現れる。したがってその構造を分析することは、これらファイバー空間およ びそ のコンパクト化（いいかえれば、特異ファイバー）を調べる上に役立つと思 われ る。またその上の line bundle を考察することによって、種々の保型形式の 間 の関係（たとえば、Maass 形式と Jacobi 形式の関係）、その幾何学的意味 を解 明できるかもしれない。また Faltings による 上 の スキームとしての構成が示すように、数論的研究の対象としても興味あるも のと 思われる。

例えていえば、この怪獣の代数幾何学的、数論的性質をもっと良く知る必要 があ る。その健胆な胃の中には様々な動物達（上記のファイバー空間のコンパク ト化、 そのファイバーであるアーベル多様体やトーリック束の退化したもの等）が 飲み 込まれている。これら哀れな動物達を怪獣の腹中から助け出し、その本来の 姿を （より一般な枠組みの中で）回復させることは意味のある問題であろう。

第一の講演では、準備として、有界対称領域の境界成分、対応する放物的部 分群 の構造、ジーゲル領域としての表示、典型的な例として、ジーゲル空間の場 合、 等について概説する。

第二の講演では、数論的部分群 が与えられたとき、それに関する 凸錐 の分解、トーリックな完備化、商空間 の 方向の局所的完備化、それらの張り合わせによる全体的 コ ンパクト化の構成等を（主としてジーゲル空間の場合の例について）概説す る。

トーリック多様体入門

石井志保子（東工大・理）

(n個の積)をn-次元トーラスと呼 ぶ。これ は積
により可換群になる。 いま代 数多様体 X
にトーラス

が作用しているとする。特に X
が正規で と同型 な開軌 跡をもつとき X
を

n -次元 トーリック 多様体 と呼ぶ。 このトーリック 多様体 はとても把 握しやす い多様体なので 代数多様体の良い モデルとしてまた新しい多様体を具体的 に構成す る場合にしばしば用いられる。 ではなぜ把握しやすいのか、どうやって把握 するの かを紹介するのがこの講演の目的である。 講演では n -次元実線形空間の上に 扇と呼ばれる有理多面錐の族を考 える。

数論的トロイダルコンパクト化

藤原 一宏（名大・多元数理）

志村多様体自身の話題に戻ろう。志村氏の仕事にもアーベル多様体という形 で現れて いるが、Deligne は Grothendieck のモチーフの哲学（モチーフという数学 的実在を 信じる宗教のようなもの）と志村氏の仕事を結びつけた。夢を語るとすれ ば、志村多 様体は（条件を付けた）モチーフのモデュライ空間なのである。（有界対称 領域自身 は Hodge 構造の分類空間と解釈される。「モチーフは Hodge 構造を生む」 のである。） このようなモチーフ論的視点に立つと、トロイダルコンパクト化の構成はモ チーフの 退化理論の帰結としてとらえられることになる（残念ながら、整数環 Z 上 満足のいく形でのモチーフ理論は知られていないのだが）。 ここでは特殊なモチーフであるアーベル多様体とその退化である 1-motive を通して PEL 型の志村多様体のトロイダルコンパクト化が Z 上自然に構成でき るこ とを述べたい (Siegel modular 多様体の場合は Chai, 及び Faltings によ り、PEL 型の時は筆者による）。しかしながら、あまり一般的には行わず、楕円モ デュラー、 ヒルベルトモデュラーなどのより親しみやすい例から入りたいと思う。

Last Modified : Mar 12, 1913 : 16:39