さて、「 応用特異点論」は広く認められている分野の名前 ではない．いうなれば我々の造語である．・・・中略・・・応用特異点論 を応用する対象は数学以外の諸科学のみならず、数学の内部のさまざまな 分野に及ぶ．その意味では、この分野は応用、純粋双方の数学にまたがる 分野であるといえる．

写像の特異点論とは何か．特異点論の基本的な考え方は どのようなものか．それは何をめざしているのか． このような問いに，象徴的な具体例によって 可能な限り答えたいと思います．

私(石川)の講演では，理論のプロトタイプとして， 平面から空間への写像や， 平面から平面への写像に現われる特異点がどのようなものか説明します． また，モース関数や，もっと退化した関数， あるいは超曲面の特異点を，どのように扱い分類するかという話をします． 数学的ディテールにあまりこだわらず，この素材をもとに， 動機づけや理念を中心に，わかりやすく話すよう努めます．

後半では，特異点論の言葉づかいや，シンプレクティック幾何や 接触幾何などに触れつつ， ラグランジュ・ルジャンドル特異点論の説明をします． ラグランジュ・ルジャンドル特異点論は， 進化した数学的カタストロフ理論というべきものであり， 様々な応用が期待されていると同時に， 理論自身，いまも日進月歩発展を続けています．

私の講演は， 「応用特異点論」でいうと，第３章から第７章までの基礎的な部分の概説と 言えます．

では，中央大学でお会いしましょう．

写像の特異点論の応用は、微分位相幾何学の 中に数多く見ることができる。たとえば、今世紀前半にホイットニーは、 どんな n 次元多様体も、2n-1 次元ユークリッド空間にはめ込んだり、 2n 次元ユークリッド空間に埋め込んだりできる、という 定理を示したが、これは（微分位相幾何学的な意味での） 特異点の解消定理と理解することができる。 また、変分問題において重要な働きをする、 多様体上のモース理論は、関数の非退化臨界点 に関するモースの補題、という特異点論の定理を多様体の 位相的構造を調べるのに使ったと解釈することができる。 さらに、最近はやりのバシリエフ不変量の理論も、写像空間の 中で、特異点を持つ写像の空間の補空間のトポロジーを 調べる、という意味で、特異点理論の 応用の一つであると言える。

このように話すべき話題は多いわけであるが、 本講演では、ある限られた簡単な特異点しか持たない 微分可能写像に着目し、与えられた多様体に対して、 そうした写像を許容する、しない、 という事実が、その多様体の位相構造、ひいては微分構造と 深くかかわる、という最近明らかにされた 事実について解説してゆきたいと思う。たとえば、 ある種の写像を許容することと、大域変分学において 重要な役割を果たした、ルシュターニーク・シュニーレルマン カテゴリーが密接に関連すること、解析的手法を 用いて定義される４次元多様体のサイバーグ・ウィッテン 不変量を用いて、複素解析曲面上のある種の写像の 非存在が示せること、などについて言及したい。

Last Modified : Mar 12, 1913 : 21:54