ENCOUNTER with MATHEMATICS ----- 数学との遭遇


第１３回

超平面配置の数学

鏡の国の超幾何関数




１９９９年１０月２２日（金）（１４：３０〜１８：００） 〜　 １０月２３日（土）（１０：３０〜１７：００）

於 : 東京都 文京区 春日１--１３--２７　中央大学 理工学部


１０月２２日（金）
　１４：５０〜１６：２０ 超平面配置の数学 I : 寺尾 宏明 氏 (都立大・理)

１７：００〜１８：００ 　超幾何関数の超古典理論 I : 吉田 正章 氏 (九大・数理)

１０月２３日（土）
１０：３０〜１１：３０ 　超幾何関数の超古典理論 II : 吉田 正章 氏 (九大・数理)

１１：５０〜１２：４０ 　超平面配置の数学 II : 寺尾 宏明 氏 (都立大・理)

１４：１０〜１５：１０ 　セルバーグ積分と多重ゼータ値 : 寺杣 友秀 氏 (東大・数理)

１５：３０〜１７：００ 　鏡映群の幾何 : 斎藤 恭司 氏 (京大・数理研)



別紙の趣旨に沿った集会の第13回を以上のような予定で開催いたします。 非専門家向けに入門的な講演をお願い致しました。 多く方々の御参加をお待ちしております。 講演者による講演内容へのご案内を添付いたしますので御覧下さい。

連絡先 : 112-8551 東京都文京区春日 1-13-27 中央大学 理工学部 数学教室 tel : 03-3817-1745
ENCOUNTER with MATHEMATICS : e-mail : encmath@math.chuo-u.ac.jp
homepage : http://www.math.chuo-u.ac.jp/ENCwMATH
三松 佳彦 : yoshi@math.chuo-u.ac.jp / 高倉 樹 : takakura@math.chuo-u.ac.jp



無題

超平面配置の数学

鏡の国の超幾何関数

概要





超平面配置の数学 I, II : 寺尾 宏明 (都立大・理)

超平面配置は古くて新しい対象である。 アフィン空間（あるいは、ベクトル空間、射影空間）の中に 置かれた超平面の有限族というのがその定義であり、 まことに単純素朴な対象で あるが、その研究にはいくつかの層が考えられ、そこに展開される数学は 各層で様相を著しく異にする。

最浅層は「組み合わせ的」層であって、 マトロイド理論、束理論、オーリック・ソロモン代数などと関係が深く、 この層においての多くの組み合わせ的不変量が定義される。 次の層は「位相幾何的」層であって、 超平面配置の補集合のホモロジー的、ホモトピー的な性質が論ぜられる。 最深層は「解析幾何的」層であって、 例え「組み合わせ的」に同一の超平面配置（例えば、相異なるn 点）であっても、 「解析幾何的」には非自明なモジュライを持つ。 そのモジュライ空間の周期写像として自然に登場するのが、 （青本・ゲルファントの意味での）超幾何積分であり、 対数的ガウス・マニン接続である。

これらの３つの層は互いに密接に 繋がり互いに規定し合い、響き合ってひとつの世界を形成している。 その世界をご紹介したい。



超幾何関数の超古典理論　I, II : 吉田 正章 (九大・数理)

超幾何関数は、 今や素敵で近代的な定式化が進んで見違えるような様子をして おるようですが、 私は百年以上も前の古い考えに固執しております、 私は自嘲的に竹槍数学と呼んでおります。 私は古い生まれたままの超幾何関数(犬井鉄郎著特殊関 数にあるような内容です）を述べますから、 若い人の手で近代数学にして下さい。

参考文献
吉田 正章 著：「私説 超幾何関数」　共立講座 21世紀の数学 24 無題



セルバーグ積分と多重ゼータ値 : 寺杣 友秀 (東京大学大学院・数理科学研究科)

Gaussの超幾何関数は複素多様体族の周期積分をその変形パラメータ に関する関数として見ることによって現れる。これを幾何学的にとらえて 一般化したものが、青本-Gelfand超幾何関数、すなわち超平面 配置に関する超幾何関数である。これに関しては、一般の位置にある 超平面配置を動く族に関する研究とともに、非常に特殊な位置にある 超平面配置を動く族に関するものも研究の対象とされてきた。その特殊 な超平面配置の族として、物理的にも興味深い対象としてSelberg積分 がある。Selberg積分の満たす微分方程式がKZ方程式であり、その係数 はinfinitesimal pure braid relation を満たす。Selberg積分は parameterの関数とみることができるが、そのparameterの次元が0のとき、 その値は算術的な性格を持つと考えられる。その一番簡単な一例をあげると、 ベータ関数である。この数論的類似はヤコビ和であることからみても 幾何的性格よりも算術的性格が強いと思われるのである。この場合の Selberg積分は幾何学的なparameterは持たないので、exponentに 関する関数とみることができる。このexponent変数に関するテーラー展開 には興味深いものがあらわれる。例えばベータ関数については

\begin{displaymath}\frac{\Gamma (1+\alpha)\Gamma (1+ \beta)} {\Gamma (1+ \alpha ... ...2}\frac{\zeta (n) (\alpha^n + \beta^n -(\alpha +\beta)^n)}{n}) \end{displaymath}

となる。ここにゼータ関数の特殊値 $\zeta (n)$ が現れることは注目すべき点である。それでは高次元の場合のSelberg積分の場合には どうなっているのだろうか。 まず積分の de Rham cohomology の基底に関しては $\beta$-nbc 基底 が様々なものを統制するのにconsistentであることがわかる。 そうやって基底をとった上でテーラー展開にあらわれるのが Eulerの多重ゼータ値である。 整数 $k_1, \dots ,k_m$ $(k_1, \dots ,k_{m-1} \geq 1, k_m \geq 2)$に対し 多重ゼータ値は

\begin{displaymath}\zeta (k_1, \dots ,k_m) = \sum_{n_1 < \cdots < n_m}\frac{1} {n_1^{k_1} \cdots n_m^{k_m}} \end{displaymath}

によって定義される複素数である。この量はVassiliev不変量を与える Kontsevich積分の計算にもあらわれ、また $\pi_1(\bold P^1 -\{ 0, 1, \infty \})$の周期積分にもあらわれ、mixed motifの周期としてもっとも基本的なもの であると思われている。有理数体上で多重ゼータの生成する環の次元に関しては ZagierとBroadhust-Deligneの予想があり、依然としてミステリアスな部分を 秘めている。
無題



Finite Reflexion Group and Topology
(A motivation to period mapping for primitive forms)1


Kyoji Saito
RIMS, Kyoto University

Preface

A finite reflexion group acting on a real vector space is a Coxeter group, since it admits a chamber as the fundamental domain. Then it carries, so called, Coxeter elements having regular eigenvectors. These facts lead to a profound understanding of the group and its action compared with other reflexion groups ([B],[Hu]). In particular, the (complexified) orbit space of a Weyl group (as a special case of finite reflexion groups) is isomorphic to the categorical quotient of a simple Lie algebra by the adjoint action of a simple Lie group. So, the orbit space draw attentions from several branches of mathematics (representation theory, algebraic geoemetry, differential geometry, differential equations,...).

The subjects of the talk are some geometric and topological aspects of the orbit space for such finite reflexion group W action, which seem to be less known. We want to show that the orbit space still carries deep mysteries to be studied yet further. First, we give expositions on the following two facts ([B1,2],[D],[B-S],[S1],[S-Y-S]):

i) The complexified regular orbit space of W is an Eilenberg-Maclane $K(\pi,1)$) space.

ii) The categorical quotient space by the W-action carries the flat metric.

These two facts, which apparently are of quite different nature, seem to be deeply connected. We give some evidences of the connection simbolically by constructing [S5]

iii) The polyhedron KW dual to the chamber decomposition which relates i) and ii),

iv) A Kahler metric on the regular orbit space by a use of the flat metric in ii).

Nevertheless, the connection remains still unexplained. More geometric connection could be, hopefully, carried out by the period mapping for primitive forms ([S2]) defined on the Eilenberg-Maclane space, but, on which we know very little except for types A1 and A2 where the uniformization is achieved by trignometric and elliptic functions, respectively.

The purpose of the talk is to draw some attention to this somewhat mysterious connection between the topology and the flat structure on the orbit space and to inspire further challenges to study the uniformization and the Kahler metric of the regular orbit space. The article is expositorial and is, hopefully, readable by non-experts of the subject.

The construction of the paper is as follows. 0 gives a motivation by the examples of types A1 and A2. 1 recalls the well-known materials on finite Coxeter groups. The fundamental group of the regular orbit space is calculated in 2, which turns out to be an Artin group. We describe the universal covering of the regular orbit space and show its contractibility in 3. The flat connection on the orbit space is constructed in 4, whose building block, the primitive vector field, is applied to construct the polyhedron KW in 5. The 6 discusses some further connection with primitive forms and some generalizations.


Contents

0 Introduction

1 Coxeter group

2 Artin group

3 Higher homotopy groups

4 Flat structure I (flat metric)

5 Flat structure II (dual polyhedron)

6 Some further problems


References

[B] Bourbaki, N.: Elements de mathematique, Fasc. XXXIV, Groupes et algebres de Lie, Chs. 4-6, Hermann, Paris 1968.

[Br1] Brieskorn, Egbert: Die Fundamental Gruppe des Raumes der Regularen Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe, Inventiones Math. 12, 57-61 (1971).

[Br2] Brieskorn, Egbert: Sur les groupes de tresses. Sem. Bourbaki (1971/71); Lect.Notes Math., 317, 21-44 (1973).

[B-S] Brieskorn, Egbert & Saito, Kyoji: Artin Gruppen und Coxeter Gruppen, Inventiones Math. 17, 245-271 (1972).

[D1] Deligne, Piere: Les immeubles des tresses generalize, Inventiones Math. 17 273-302 (1972).

[D2] Deligne, Piere: Action du groupe des tresses sur categorie, Invent. math. 128, 159-175 (1997).

[Hu] Humphreys, J.E.: Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, Cambrdge, 1990.

[S1] Saito, Kyoji: On a Linear Structureof the Quotient Variety by a Finite Reflexion Group, Publ. RIMS, Kyoto Univ. 29, 535-579 (1993).

[S2] Saito, Kyoji: Period Mapping Associated to a Primitive form, Publ. RIMS, Kyoto Univ., 19, 1231-1264 (1983).

[S5] Saito, Kyoji: The polyhedron dual to the chamber decomposition for a finite Coxeter group, in preparation.

[S-Y-S] Saito, Kyoji &Yano, Tamaki & Sekiguchi, Jiro: On a ceertain generator system of the ring of invariants of a finite reflexion group, Comm. Algebra,8, 373-408 (1980).

斎藤先生からは既に２０ページ近い未完成のノートをお送りいただきました。
これはその原稿の preface の部分を主催者側で勝手に編集したものです。

Last Modified : Mar 12, 1913 : 22:28