ポアンカレ予想とは， 約１００年前に多様体のトポロジ−の研究の基礎を確立した ポアンカレの一連の大論文の中に記された 「単連結３次元閉多様体は３次元球面と位相同型か？」 という問題を指す． いまだ未解決であるが， ２０世紀の数学研究推進の大きな原動力となった予想で， その重要性は衆目の一致するところである．

今回の ENCOUNTER with MATHEMATICS は， ポアンカレ予想をめぐるこれまでの研究の進展と， ３次元という今注目が集まっている次元での トポロジ−の現況をテ−マに取り上げている． この講演は表題のとおり， そもそものポアンカレ予想を出発点として， ３次元多様体論の進展を時代を追って解説し， 全体の序章としたい．

参考文献
[1] 加藤十吉，「ポアンカレ予想周辺」，数学，岩波書店，31 (1979)
[2] 小島定吉，「ポアンカレ予想」，数学セミナ−，４月号 (1998)
[3] 松本幸夫，「４次元ポアンカレ予想の解決」，数学セミナ−，６月号
　(1982)
[4] J. Milnor, The Poincare Conjecture,
http://www.claymath.org/prize_problems/index.htm

高次元ポワンカレ予想の解決 : 加藤　十吉（九州大学・数理学研究院）

ポワンカレ予想の高次元版
　 「ｎ(≧５）次元のホモトピー球面はｎ次元球面に同相である」
が S. Smale によって解決されたのは周知の事実だろう． しかし，文献的には，J. Stallings の証明の方が早く出版されている． そこには高次元ポワンカレ予想の解決を巡る 組合せ位相幾何学対微分位相幾何学 の凄まじい先陣争いが伺える． Smale は英国の一匹狼 J. H. C. Whitehead の「collapsing と正則近傍の理論」 と米国の M. Morse の理論 および H. Whiteney の「可微分埋蔵の交叉理論」 の融合により，高次元ポワンカレ予想に到達したと言われる． Smale の理論はそれだけの解決にとどまることなく，一般の高次元 多様体の分類理論の基盤となる h-同境定理に到達する．

今回の ENCOUNTER with MATHEMATICS では，Smale 以前の Whitehead の 高次元ポワンカレ予想への取り組みを中心に，組合せ位相幾何的な，したがっ て，ユークリッドの原本の第１３巻としての高次元ポワンカレ予想の解決に 触れて，Stallins の組合せ位相幾何学的証明への執着と情熱を理解する一助 として戴ければ幸です．

４次元ポアンカレ予想の解決 : 松本　幸夫（東大・数理）

１９０４年にポアンカレによって３次元ポアンカレ予想が問題と されて以来、約６０年後にスメールにより高次元の類似（高次元 ポアンカレ予想）が解決された。これは、「ある意味では高次元 のほうが見やすい」という驚くべき事実の発見だった．スメール の方法は高次元に特有の技法、とくに「ホイットニー・トリック」 を使うため、すぐに４次元に適用するわけには行かなかったが、 １９７３年のキャッソンの素晴らしいアイデアによって、４次元に 適用する道が開かれた．そして遂に１９８１年になり、フリードマンに よる４次元ポアンカレ予想の解決をみた。

この講演では、キャッソンのアイデアとフリードマンの仕事につい ての解説を試みたいと思います。


参考文献：

上正明・久我健一，　「Freedmanによる４次元Poincare予想の 解決について」，数学　35（1983）

３次元トポロジ−から三題

I.　 幾何化予想から ?? へ : 小島　定吉（東工大・情報理工）

幾何化予想は， ポアンカレ予想をいっきに３次元多様体のトポロジーの 分類に引き上げる新しい視点をもたらした． こうした幾何的な立場からの研究は， 基本群が無限群である場合に著しく進展し， 近い将来の解決も夢ではないと期待されている． しかし基本群が有限群の場合は どうも相性が今一つという感が否めない．

一方こうした幾何化の流れとは独立に， ８０年代半ばから新しい代数的手法による ３次元多様体の位相不変量の研究が 数理物理の興味と結びつき大きく展開した． それぞれの研究は長い間(超)平行線を歩んだが， 最近になって， 体積予想など両者を結びつける橋が現われ始めてきた． この講演では， これからどこへ向かうのか見当もつかない３次元トポロジーを， こうした橋を意識しつつ (すでに古典かもしれない) 幾何化の 視点から今一度振り返ってみたい．

II.　 3次元多様体の量子不変量 : 大槻　知忠（東工大・情報理工）

1980年代の数理物理と低次元トポロジーの交流により， 3次元トポロジーには，量子不変量とよばれる多数の位相不変量がもたらされた． 数理物理的には，Chern-Simons 汎関数を Lagrangian とする経路積分として 量子不変量は表される． この Chern-Simons 経路積分を数学的に理解する1つの方法が摂動展開であり， この摂動展開を数学的に定式化することにより 3価グラフの無限線形和が(3次元多様体の位相不変量として)えられる． とくにホモロジー球面に話を限ると， この無限線形和の各係数は整数性をもつ有限型不変量になり， さらに各有限型不変量は任意の整数値をとる． また，すべての有限型不変量が同じであるような 同相でないホモロジー球面は現時点では知られていない． 希望的には，ホモロジー球面の集合は 3価グラフがはる(無限 rank の) lattice の部分集合とみなされる (ことが期待される)． 量子不変量はこの lattice 上の関数である．

最近の話題である体積予想によると，量子不変量のある種の極限として (数理物理的にはある種の相関関数の準古典極限として) 「双曲体積」と「Chern-Simons 不変量」が現われる(らしい)ことが 数値実験等により強く示唆されている． 今後，幾何構造と位相不変量の研究が結びつくことにより， 3次元多様体のトポロジーの解明にむけて， 体積予想から何がもたらされるのか? 今後の進展が期待される．

この講演では，Chern-Simons 経路積分から体積予想まで， 数理物理に由来する不変量をめぐる3次元トポロジーの (この十数年の)発展を概観する．

III. 　２次元から見た量子不変量 : 吉田　朋好（東工大・理）