群のEuler数
 秋田 利之

任意の群に対して分類空間(あるいはEilenberg-MacLane空間)と 呼ばれる空間が存在して、ホモトピー同値を除いて一意に定まることが よく知られています。とくに群の分類空間が有限複体として 実現できるならば、そのEuler数は群の不変量となります。 従ってを群のEuler数(と書きます)とみなすのは自然です。 例えば階数の自由群のEuler数は となります。

群が有限位数の元をもつばあい、は有限複体としては 実現でないので、上のやり方ではを定義することはできません。 このような群(のあるクラス)に対しての「適切な定義」を最初に 与えたのはC. T. C. Wall [5]です。 Wallの定義した群のEuler数は一般には 整数ではなく有理数に値をもちます。 WallのアイデアはSerre [3], Stallings [4], Brown [1] などにより、より広いクラスの群に広げられました。

この講演では群のEuler数の定義・性質・例などを、 上に述べた歴史を踏まえて、できるだけ平易に紹介したいと思います。 また群のEuler数は、トポロジーに起源をもつ概念であるものの、、 同時に群の代数的・群論的な性質を色濃く反映していることが知られてます。 そのような観点から、群の中心に関するGottliebの仕事、 有限位数の元に関するBrownの仕事、ホモロジカルなSylowの定理 などを紹介するつもりです。最後に群のEuler数に関する基本的な文献として [2]の第9章を挙げておきます。

Euler class of surface groups acting on the plane
 Danny Calegari (Caltech/東工大・情報理工)

Abstract: Associated to an orientation-preserving action of a group on the plane there is a -dimensional characteristic class called the Euler class. When is the fundamental group of a closed orientable surface, the Euler class can be evaluated on the fundamental cycle to give a number, the Euler number of the action. The famous Milnor-Wood inequality gives constraints for what Euler numbers can arise in the analogous case of surface group actions on the circle. For the plane, there are no such constraints at the topological level, but for or higher differentiability, a vestige of Milnor-Wood remains, manifesting in a kind of dynamical rigidity for actions. We will discuss this rigidity, and give the complete homological classification of actions of surface groups on the plane, in every degree of smoothness.

オイラーとトポロジーの誕生
 松本　幸夫（学習院大学理学部）

数年前に、トポロジーについて歴史的なことを書くように頼まれました。 それを 機に、オイラーの原論文に目を通してみましたので、紹介させていただきます。