Mostow の剛性定理とその仲間達 金井 : 雅彦氏 (名古屋大学・多元数理)

Lie 群の格子に関する剛性定理は種々の様相を有する． 数ある剛性定理の中でも多分最も著名であろう Mostow の剛性定理を例にとろう．それによれば， (1) 次元が 3 以上のコンパクト実双曲多様体は その基本群により位相・計量ともに完全に決定される． これが Mostow の剛性定理の幾何学的定式化である． また代数的な翻訳も瞬時にして可能である： (2) 適当な仮定を満たす非コンパクト型半単純 Lie 群は その格子により完全に決定される． いずれも，基本群ないし格子といった離散的対象により，一般には より自由度の高いはずの連続的な対象がコントロールされることを主張する． さて，証明に目を転じてみよう． Mostow 自身による証明（ちなみに現在では別証明が多数存在する） において本質的な役割を果たしたのは， (3) 擬等角写像の微分可能性 というある種解析的な事実であり，また (4) 無限遠境界への基本群の作用に関するエルゴード理論的考察 であった． ただし(4)に関しては，群作用により不変な共形構造の一意性が 議論の中核をなすがゆえに，より正しくいうならばエルゴード理論と 幾何学のハイブリッドと言うべきかもしれない（そう言えば， `Ergodic Geometry Seminar' というのがフランスにありましたが）．

さらに post-Mostow と言うことになれば，Margulis の超剛性定理などが すぐに思い浮かぶ． 特にこれにより高階の半単純 Lie 群の格子の算術性が保証される． また Corlette, Gromov-Schoen, Jost-Yau, Mok-Siu-Yeung 等が 調和写像という大域変分法的な手法を用い Margulis の剛性定理の別証明を与えた のは比較的記憶に新しい． さらには群作用に対する剛性問題も忘れてはなるまい． Mostow や Margulis の剛性定理においては格子から 有限次元 Lie 群の中への準同型が取り扱われたのに対し， 群作用の剛性においては，群作用，すなわち微分同相群という 無限次元 Lie 群の中への準同型が対象となる． この無限次元性から生じる困難をいかに克服するかがその醍醐味である．